衍伸三角形及多邊形之面積差與性質探究
作者：曾琮鈞、呂畇廣
指導老師：孟慶霖
指導教授：蕭偉智
壹、 研究動機與目的
在 2021 年 10 月的數學期刊中,Todor Zaharinov 提出了證明題,而在隔年 3 月的期刊中提供了透過重心坐標系統(Barycentric Coordinates)和仿射幾何等方法以成功證明,而我們主要針對以下進行研究：
一、 將原題延伸到任意多邊形並探討衍伸多邊形面積差。
二、 三角形頂點作旁接三角形的垂心、外心,探討衍伸三角形面積。
三、 刻劃前述構造中的幾何性質。
貳、 預備知識
1.卡諾定理(Carnot’s Theorem)：用以證明二次曲線的存在性。
2.康崴符號(Convey’s Notation)：用以幫助代換化簡,整理公式。
3.重心坐標(Barycentric Coordinates)：平面上任一點 P 與 △ ABC 三頂點形成三個子三角形 △ PBC、 △ PCA、 △ PAB,利用有向面積比定義此點的位置，稱為 P 點的重心坐標,即 P(x: y: z) = P([PBC]:[PCA]:[PAB])，而在報告中，我們還會利用此系統下的各種公式及二次曲線方程式，在此便不再贅述。
圖 1:Todor Zaharinov 提出的證明題
參、 研究成果
一、 以頂點為重心,構造衍伸三角形
◇ 衍伸三角形的頂點皆位於圓錐曲線 γ 上(卡諾定理)。
◇ 求得 γ 的方程式;代入無窮遠點得到型態判別式(橢圓、拋物線、雙曲線等)。
◇ 以三角函數重新證明原題,並成功推廣至任意多邊形(衍伸多邊形有相等 面積)。
二、 以頂點為垂心,構造衍伸三角形
◇ 衍伸三角形面積相等時,蒐集 P 點位置,構成外接圓、Kiepert 雙曲線。
◇ 以衍伸三角形面積比值得到二次曲線系
◇ 同得曲線的判別式,以 r1、r2 為區間劃分。
◇ 曲線系交平面於四點(三角形頂點、塔里點)，衍伸三角形將退化為直線。
◇ 觀察構圖,得到線段比值 (如圖)
◇ 推廣！以 P 點為中心旋轉垂線,發現上述線段比等於 P 在外接圓上時,衍伸三角形的比值。
三、 以頂點為外心，構造衍伸三角形
◇ 發現具有「向外」、「向內」，兩種構圖方式。
◇ 得到衍伸三角形面積相等時 𝑃 的軌跡方程式（以三極坐標化簡）。
◇ 「向內」構圖中，𝑃 曲線與三次曲線 Neuberg Cubic 的交點（13 共點）。
四、 一般化西瓦線上任意點的推廣作圖
◇ 任意三角形與正奇多邊形的構造中，皆有衍伸多邊形面積相等。
